Consideraciones energéticas en un problema de caída libre

Consideraciones energéticas en un problema de caída libre idealizado: con idealizado me refiero al problema en el cual no se han tomado en cuenta factores como la pérdida de energía debida a la reistencia del aire, la no homogenéidad del campo gravitatorio de la tierra ni la rotación de la misma.

Es bien sabido que la energía cinética de un objeto clásico viene dada por:

donde v es la velocidad del objeto y m es su masa. La energía potencial en el caso particular de la caída libre es:

donde g es la aceleración debida al campo gravitatorio de la tierra, y y es la distancia del objeto al punto que se ha fijado como cero de la energía potencial, usualmente este cero es fijado en el suelo, pero si se tiene por ejemplo un problema de lanzamiento vertical es buena idea fijar el cero de la energía potencial en el lugar desde el que se lanzó el objeto, de cualquier manera la solución del problema se puede hacer de la misma manera. Nota: no confundir la V  mayúscula de energía potencial con la v minúscula de velocidad

Veamos el siguiente problema en detalle:

Se lanza un objeto de masa m  con una velocidad inicial v₀ hacia arriba, se pide encontrar su energía potencial en el momento en que alcanza su altura máxima.

Para resolver este problema basta con utilizar la ley de conservación de la energía mecánica, y dado que tenemos un problema en el que no hay disipación de energía, en todo momento tenemos que la energía total  del sistema es igual a su energía inicial:

en este caso podemos fijar el cero de la energía potencial en el punto desde el que se lanza el objeto (que en particular puede ser el suelo), de esa manera tenemos:

Para encontrar la energía potencial del objeto cuando alcanza su altura máxima podemos tener en cuenta que la velocidad del objeto es cero cuando éste alcanza la altura máxima, luego su energía cinética es cero allí. La energía mecánica del objeto en su punto de altura máxima es:

Como no hay disipación de energía se cumple que:

despejando de allí y_max :

con lo que fácilmente se puede calcular la energía potencial máxima. Si se piensa un poco sobre el procedimiento que se acaba de efectuar se puede ver que era mucho más fácil de lo que parecía, porque en ambos extremos del trayecto hay un elemento que se hace cero (ya sea la energía potencial o la cinética), y de allí se puede concluir inmediatamente que la energía potencial en el punto con altura máxima es igual a la energía cinética inicial (como se vió en los cálculos realizados), este resultado sólo es válido si no hay ningún tipo de disipación de energía.

Para el mismo problema de arriba ahora se pide calcular la energía cinética en cualquier instante de tiempo después de ser lanzado y antes de que vuelva a su posición original. Para resolver este problema podemos darnos una pasada por aquí, en donde encontraremos algo de cinemática relacionada con el movimiento de caída libre, que a fin de cuentas no es mas que un movimiento uniformemente acelerado, y usando la ecuación que determina la posición del objeto en función del tiempo (nota: y(t) significa y en función de t , no y multiplicada por t ):

 donde en nuestro caso tomaremos como referencia y₀=0 dado que hicimos la energía potencial inicial igual a cero. Reemplazando esto en la ecuación para la energía potencial obtenemos:

que nos dice el valor de la energía potencial en función del tiempo, para hallar la energía cinética lo único que resta por hacer es una resta, teniendo el cuenta la ley de la conservación de la energía y que no hay disipación de energía: T(t)= E₀ - V(t), con lo cual esta resuelto el problema. No olvidar que t=0 es el momento en el que se lanza el objeto.

Si se modifica un poco el problema y se pide ahora el valor de la energía potencial un tiempo antes de que el objeto regrese a su posición inicial, basta con calcular el tiempo que le toma volver a su posición inicial (podemos mirar aquí), y hacer una resta simple en el tiempo para reemplazarlo en la ecuación anterior.

Otro problema relacionado con la energía cinética y potencial de un objeto que cae es el siguiente:

Un objeto de masa m se deja caer desde una altura inicial y_0:

• Calcular la velocidad del objeto justo antes de llegar al suelo.
• Si el al chocar con el suelo se entierra una distancia l, calcular la resistencia media del suelo. .

Para ambos puntos suponer resistencia del aire nula.

SOLUCIÓN:
Para este problema fijemos el cero de la energía potencial una distancia l  por debajo del suelo, de esa manera la energía potencial inicial del objeto es:

La energía total del objeto antes de empezar a caer es exactamente igual a su energía potencial E₀=V₀

Como no hay resistencia del aire, la energía no se disipará sino hasta que el objeto llegue al suelo, de esa manera la energía mecánica total del objeto es la misma en todo momento mientras esta todavía en el aire. La energía potencial del objeto cuando esta a punto de chocar contra el suelo es (recordar que el cero de la energía potencial no se ubicó en el suelo)

La energía mecánica total del objeto justo antes de chocar contra el suelo es igual a la energía inicial: E₀=E₁, escribiendo explícitamente E₁ y E₀:

donde v₁ es la velocidad del objeto justo antes de chocar contra el suelo. Despejando de allí v₁ :

Para resolver la segunda parte debemos notar que la energía total del objeto cuando se detiene después de enterrarse es cero (E₂=0), de manera que mientras se enterraba hubo disipación de energía, sabemos que la cantidad de energía que se disipó es V₁ (repito: no confundir V mayúscula de energía potencial con v minúscula de velocidad), de manera que el trabajo realizado en ese trayecto (de longitud l) es igual a -V₁ . Sabemos que para el caso de unidimensional el trabajo entre un punto 1 y uno 2 se define como la energía en 2 menos la energía en 1, y también se define como la distancia por la fuerza promedio ejercida sobre el objeto:

el menos de -Fl aparece porque el objeto se esta moviendo en la dirección en la que nuestra coordenada de posición (y) decrece. Igualando esas dos ecuaciones y despejando F:

donde se reemplazó v₁ por su valor calculado anteriormente. Con lo cual queda completamente resuelto el problema y se puede ver que, como se esperaba, la fuerza esta dirigida hacia arriba, oponiendose al movimiento del objeto.

Espero que haya sido claro y de utilidad. Si no fue así deja tu comentario con sugerencias o preguntas, no te quedes con la duda.