Momento lineal en un choque de dos partículas

El momento lineal se define como el producto de la masa del objeto por su velocidad (las cantidades en negrita quieren decir vector):

De ahora en adelante la derivada con respecto al tiempo de una función se denotara con un punto encima de ella: .

Calculando la derivada del momento con respecto al tiempo, en un sistema con masa constante se obtiene:

pero el producto de la masa por la aceleración es precisamente la fuerza (segunda ley de Newton), así que se tiene:

la derivada con respecto al tiempo del momento lineal de un cuerpo es igual a la fuerza ejercida sobre éste.

Si se considera un sistema en el que la fuerza externa neta sea cero  se tiene:

lo cual quiere decir que el momento no depende del tiempo, en otras palabras: en ausencia de fuerzas externas sobre un sistema el momento lineal de éste permanece constante. 

Este resultado se denomina el principio de conservación de la cantidad de  movimiento lineal, y ha sido objeto de experimentación durante mucho tiempo, siempre prediciendo correctamente los resultados obtenidos, por tanto es completamente confiable en su rango de aplicación. Basándonos en esto podemos tratar el problema del choque de dos partículas.

En el caso del choque de dos partículas libres, donde no hay ninguna fuerza externa afectándolas, se tiene que la cantidad de movimiento lineal total del sistema se conserva. Es importante resaltar que el momento (o cantidad de movimiento) es una cantidad vectorial, y que su conservación también se da de esa manera.

Supóngase que las dos partículas, 1 y 2, tienen masas m₁ y m₂, y velocidades iniciales v_1i y v_2i respectivamente. Se tiene que el momento lineal total del sistema antes del choque es la suma de el de 1 con el de 2:

si la fuerza externa neta sobre el sistema de las dos partículas es cero se tiene que el momento total es constante, en particular es el mismo antes y después del choque, es decir:

esta ecuación nos relaciona las velocidades iniciales y finales de las partículas 1 y 2 que chocan. Recordar que esto sólo es válido si la fuerza externa neta es cero, si no lo es se debe usar la ecuación en la que aparece la fuerza.


Ayudandonos de esta ecuación podemos resolver problemas como el siguiente:


Una partícula de masa m₁ se desplaza por el eje x con una velocidad inicial  v_1i cuando choca con una de masa m₂ inicialmente en reposo. La segunda partícula sale despedida con una velocidad v_2f que apunta en una dirección que forma un ángulo de a grados con respecto al eje x. Se desea encontrar la velocidad (magnitud y dirección) de la primera partícula después del choque.


En este problema es válida la utilización del principio de conservación de la cantidad de movimiento, luego se cumplen las ecuaciones descritas arriba. Despejando v_1f  de allí:

porque v_2i =0. Podemos considerar que las dos partículas se mueven sólo en un plano, es decir, nuestro problema tridimensional original lo podemos considerar como si fuese solo en dos dimensiones, en nuestro caso los ejes x y y. Descomponiendo el problema vectorial de dos dimensiones en dos problemas de vectores en una dimensión:
Para la componente en x :

• v_1i  esta únicamente en esa dirección
• la componente en esa dirección de v_2f  viene dada por:  
Utilizando la ecuación para la velocidad final de la primera partícula se obtiene:

Para la componente en y:

• la componente en esa dirección de  v_2f viene dada por: 
Utilizando la ecuación para la velocidad final de la primera partícula se obtiene:

Con lo que se tiene el resultado final: 

Si se tiene el problema similar en el que en cambio de tener como dato inicial la velocidad del segundo cuerpo después del choque, se tiene la del primer objeto y se busca la del segundo el procedimiento es completamente análogo y todo lo que requiere es despejar de la misma manera pero para encontrar v_2f 

PÉNDULO ATRAVESADO CON UN PROYECTIL:

Se tiene un péndulo simple con una masa M en su extremo, supóngase que un proyectil con una masa m y una velocidad inicial v₀ impacta y atraviesa la masa del péndulo y sale con una velocidad final v_f sin cambiar su dirección. El péndulo inicialmente esta en reposo. Encontrar la altura máxima que alcanza el péndulo.

Solución: 
La cantidad de movimiento lineal total del sistema justo antes de que el proyectil llegue al péndulo es p_i,  r quiere decir proyectil y e quiere decir péndulo:

se tiene que el momentum del sistema después de que la partícula atravesó el péndulo es:

Como estamos asumiendo que la acción de la gravedad mientras ocurre el choque es nula, se tiene que el momentum en este choque se conserva, luego p_i=p_f. Igualando las ecuaciones y despejado v_fe se tiene:

Ahora el problema se ha reducido a encontrar la altura máxima que alcanza el péndulo si en su mínimo tiene una velocidad  v_fe, para hacer esto haremos consideraciones referentes a la conservación de la energía:

Con lo cual se tiene completamente resuelto el problema.


Espero que haya sido claro y de utilidad. Si no fue así deja tu comentario con sugerencias o preguntas.

Consideraciones energéticas en un problema de caída libre

Consideraciones energéticas en un problema de caída libre idealizado: con idealizado me refiero al problema en el cual no se han tomado en cuenta factores como la pérdida de energía debida a la reistencia del aire, la no homogenéidad del campo gravitatorio de la tierra ni la rotación de la misma.

Es bien sabido que la energía cinética de un objeto clásico viene dada por:

donde v es la velocidad del objeto y m es su masa. La energía potencial en el caso particular de la caída libre es:

donde g es la aceleración debida al campo gravitatorio de la tierra, y y es la distancia del objeto al punto que se ha fijado como cero de la energía potencial, usualmente este cero es fijado en el suelo, pero si se tiene por ejemplo un problema de lanzamiento vertical es buena idea fijar el cero de la energía potencial en el lugar desde el que se lanzó el objeto, de cualquier manera la solución del problema se puede hacer de la misma manera. Nota: no confundir la V  mayúscula de energía potencial con la v minúscula de velocidad

Veamos el siguiente problema en detalle:

Se lanza un objeto de masa m  con una velocidad inicial v₀ hacia arriba, se pide encontrar su energía potencial en el momento en que alcanza su altura máxima.

Para resolver este problema basta con utilizar la ley de conservación de la energía mecánica, y dado que tenemos un problema en el que no hay disipación de energía, en todo momento tenemos que la energía total  del sistema es igual a su energía inicial:

en este caso podemos fijar el cero de la energía potencial en el punto desde el que se lanza el objeto (que en particular puede ser el suelo), de esa manera tenemos:

Para encontrar la energía potencial del objeto cuando alcanza su altura máxima podemos tener en cuenta que la velocidad del objeto es cero cuando éste alcanza la altura máxima, luego su energía cinética es cero allí. La energía mecánica del objeto en su punto de altura máxima es:

Como no hay disipación de energía se cumple que:

despejando de allí y_max :

con lo que fácilmente se puede calcular la energía potencial máxima. Si se piensa un poco sobre el procedimiento que se acaba de efectuar se puede ver que era mucho más fácil de lo que parecía, porque en ambos extremos del trayecto hay un elemento que se hace cero (ya sea la energía potencial o la cinética), y de allí se puede concluir inmediatamente que la energía potencial en el punto con altura máxima es igual a la energía cinética inicial (como se vió en los cálculos realizados), este resultado sólo es válido si no hay ningún tipo de disipación de energía.

Para el mismo problema de arriba ahora se pide calcular la energía cinética en cualquier instante de tiempo después de ser lanzado y antes de que vuelva a su posición original. Para resolver este problema podemos darnos una pasada por aquí, en donde encontraremos algo de cinemática relacionada con el movimiento de caída libre, que a fin de cuentas no es mas que un movimiento uniformemente acelerado, y usando la ecuación que determina la posición del objeto en función del tiempo (nota: y(t) significa y en función de t , no y multiplicada por t ):

 donde en nuestro caso tomaremos como referencia y₀=0 dado que hicimos la energía potencial inicial igual a cero. Reemplazando esto en la ecuación para la energía potencial obtenemos:

que nos dice el valor de la energía potencial en función del tiempo, para hallar la energía cinética lo único que resta por hacer es una resta, teniendo el cuenta la ley de la conservación de la energía y que no hay disipación de energía: T(t)= E₀ - V(t), con lo cual esta resuelto el problema. No olvidar que t=0 es el momento en el que se lanza el objeto.

Si se modifica un poco el problema y se pide ahora el valor de la energía potencial un tiempo antes de que el objeto regrese a su posición inicial, basta con calcular el tiempo que le toma volver a su posición inicial (podemos mirar aquí), y hacer una resta simple en el tiempo para reemplazarlo en la ecuación anterior.

Otro problema relacionado con la energía cinética y potencial de un objeto que cae es el siguiente:

Un objeto de masa m se deja caer desde una altura inicial y_0:

• Calcular la velocidad del objeto justo antes de llegar al suelo.
• Si el al chocar con el suelo se entierra una distancia l, calcular la resistencia media del suelo. .

Para ambos puntos suponer resistencia del aire nula.

SOLUCIÓN:
Para este problema fijemos el cero de la energía potencial una distancia l  por debajo del suelo, de esa manera la energía potencial inicial del objeto es:

La energía total del objeto antes de empezar a caer es exactamente igual a su energía potencial E₀=V₀

Como no hay resistencia del aire, la energía no se disipará sino hasta que el objeto llegue al suelo, de esa manera la energía mecánica total del objeto es la misma en todo momento mientras esta todavía en el aire. La energía potencial del objeto cuando esta a punto de chocar contra el suelo es (recordar que el cero de la energía potencial no se ubicó en el suelo)

La energía mecánica total del objeto justo antes de chocar contra el suelo es igual a la energía inicial: E₀=E₁, escribiendo explícitamente E₁ y E₀:

donde v₁ es la velocidad del objeto justo antes de chocar contra el suelo. Despejando de allí v₁ :

Para resolver la segunda parte debemos notar que la energía total del objeto cuando se detiene después de enterrarse es cero (E₂=0), de manera que mientras se enterraba hubo disipación de energía, sabemos que la cantidad de energía que se disipó es V₁ (repito: no confundir V mayúscula de energía potencial con v minúscula de velocidad), de manera que el trabajo realizado en ese trayecto (de longitud l) es igual a -V₁ . Sabemos que para el caso de unidimensional el trabajo entre un punto 1 y uno 2 se define como la energía en 2 menos la energía en 1, y también se define como la distancia por la fuerza promedio ejercida sobre el objeto:

el menos de -Fl aparece porque el objeto se esta moviendo en la dirección en la que nuestra coordenada de posición (y) decrece. Igualando esas dos ecuaciones y despejando F:

donde se reemplazó v₁ por su valor calculado anteriormente. Con lo cual queda completamente resuelto el problema y se puede ver que, como se esperaba, la fuerza esta dirigida hacia arriba, oponiendose al movimiento del objeto.

Espero que haya sido claro y de utilidad. Si no fue así deja tu comentario con sugerencias o preguntas, no te quedes con la duda.